Il Teorema di Pitagora con i travasi

Abbiamo già parlato del Teorema di Pitagora e ne ho segnalato una dimostrazione tramite una immagine animata, ma questo video è di una potenza e di un'efficacia straordinarie.
Basta vedere come è immediato per scoprire che questa è la vera dimostrazione empirica di quanto ennemila formule hanno cercato di imprimere nella nostra mente, a volte con scarsi risultati.

In questo video si vede la forza dei numeri, che tutto è dimostrabile attraverso delle equazioni e un susseguirsi di passaggi.
Si nota la potenza che sta dietro a qualsiasi fenomeno.
A volte non si comprende, a volte non la si afferra, ma sta lì, a portata di mano, basta solo allungarla per afferrare il significato che sta dietro, basta solo aprire la mente e gli occhi. E' lì.

Grande applauso per chi ha pensato a girare questo video del Teorema di Pitagora, che, tra l'altro, vanta un sacco di condivisioni, altro effetto "virale" della matematica, no?

Qui si vede come il liquido contenuto nei 2 quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo riempie perfettamente il quadrato costruito sull'ipotenusa del triangolo stesso e viceversa.
Immediato, semplice.

Pubblicazione di Telma Castro Silva.

Il teorema di Pitagora animato

A volte non è facile "visualizzare" il significato di certe affermazioni e di certi risultati in matematica.
Sembra essere sempre tutto campato per aria e senza una concretezza.
E invece non è così, non lo è mai.
Grazie ai supporti moderni, avrei pagato oro per poterci giocare quando ero a scuola, è possibile toccare con mano e vedere con i propri occhi cose che non sono una semplice filastrocca, come ad esempio il teorema di Pitagora.
Sì, una filastrocca: "In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti".

Sì, fico, vabbè... ma che vuol dire?
Vuol dire quello che si vede in questa figura del Teorema di Pitagora animato:

fonte wikipedia

Il quadrato tutto nero più grande è pari all'area del triangolo costruito sull'ipotenusa (ossia pari a c^2).
Si vede che è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (a^2 + b^2).
Lo spazio racchiuso nell'immagine non varia, è sempre costante. Quindi, per questo motivo, anche se si spostano, si ruotano le figure al suo interno, l'area rimane sempre la stessa, soltanto che viene rappresentata sotto forma di figure geometriche differenti.
Pertanto, se si spostano i due triangolini rettangoli che circondano in parte il quadrato nero più grande, l'area rimanente deve essere la stessa, non può nè dilatarsi e nè restringersi.

Il problema dello spago

Torniamo alla mia cara e vecchia matematica.
Oggi voglio parlare del "problema dello spago", un quesito molto interessante e carino che, analiticamente, può essere proposto agli alunni liceali, perchè si parla di analisi di grafici, di parabole eccetera, ma intuitivamente, può tranquillamente essere capito e assimilato dai ragazzi delle medie, basta che si abbia la nozione di perimetro e area di un rettangolo.

Prima di entrare nel vivo del quesito, vorrei sottolineare l'efficacia di far diventare la matematica "concretezza": tramite l'utilizzo di un banalissimo spago, si possono capire concetti che altrimenti resterebbero astratti e campati per aria, in questo modo, invece, si interiorizzano delle nozioni e si capiscono cose che difficilmente si dimenticheranno, perchè i ragazzi le toccano con le proprie mani... è questa la differenza! E non si sbaglieranno più.

Allora, cominciamo col dire che questo problema dello spago è stato portato avanti e studiato approfonditamente da Emma Castelnuovo, figlia del grande Guido Castelnuovo ed insegnante di matematica, che ha rivoluzionato il modo di insegnarla: infatti ha basato tutto il suo insegnamento sul mettere al centro l'allievo, stimolarlo nel modo corretto ad arrivare lui stesso alle conclusioni, senza fargliele cadere dall'alto, portandolo all'osservazione e all'esperienza. E questo è uno dei suoi escamotage per far comprendere concetti altrimenti lontani.

Basta avere uno spago, di una lunghezza qualunque (che rimane, ovviamente costante). Serve legare le due estremità tra loro per poterci giocare con quattro dita, provando a variare le due dimensioni del rettangolo che ne viene fuori.

Il quesito è il seguente: i rettangoli (isoperimetrici) che man mano vengono creati in questo modo, pur mantenendo lo stesso perimetro (che è sempre pari alla lunghezza dello spago), è possibile che abbiano aree diverse? Ed in che modo?
Ovvero, esiste un rettangolo con area massima ed uno con area minima? E quali sono?

Provate a chiederlo ai ragazzi, ne sentirete delle belle.

Questo corrisponde al quesito formulato in maniera più "canonica": Data la serie di rettangoli con ugual perimetro, determinare il rettangolo di area massima e quello di area minima.
Insomma, questo problema si incastra tra quelli di studio dei massimi e minimi.

Partiamo dall'approccio analitico (adatto agli studenti liceali).
Immaginiamo che il perimetro costante dei rettangoli sia pari a 40 e che le due dimensioni variabili degli stessi siano x ed y.
Si avrà che:

2 * (x+y) = 40

ovvero (dividendo tutto per 2):

x + y = 20
o anche:
y = 20 - x (*)

Considerando l'area dei diversi rettangoli pari ad S, si ha che:

S = x * y

Operando tra queste due uguaglianze, ovvero, sostituendo alla y dell'ultima equazione, la sua espressione precedentemente trovata (*), si arriva all'equazione della parabola:

foto credits: http://www.treccani.it/

Conclusioni (intuitive, che possono essere comprese da ragazzi delle medie):

Ora, analizzando concretamente il risultato, si può vedere che l'area massima si ha quando il rettangolo diventa un quadrato di lato pari a 10 (da cui, si può anche dedurre che: il quadrato è un particolare rettangolo!).

Mentre l'area minima si ha quando lo spago è tutto disteso piegato in due: in questo modo, infatti, diventa un segmento lungo 20 e si sa, che i segmenti non hanno superficie!

PS: il problema può essere risolto analiticamente in diverse maniere, questa non è l'unica!

Esercizio concentrazione: mettere in ordine una storia

Le lezioni di logopedia stanno dando i loro frutti.
Miriam è migliorata tantissimo, adesso non si perde per strada alcun suono, riesce a riprodurre tutte le consonanti, tutte le sillabe, le usa bene anche quando non ci pensa su, insomma, primo obiettivo brillantemente raggiunto!
E brava Miriam.

Ora si va avanti, non ci fermiamo certo qui.
La logopedista ha notato che Miriam spesso e volentieri non riesce a concentrarsi sulle storie, non riesce poi a riferire con vocabolario adeguato per una bambina di 5 anni, delle frasi complete, ma cerca sempre la scorciatoia dei monosillabi (furba lei!), quindi sta trovando delle strategie per stimolarla a dovere.
Uno degli esercizi che ora le propone costantemente è quello di mettere in ordine delle carte per ricostruire una storia.

In genere si tratta di storie che riproducono fatti di vita quotidiana, azioni ben note (come lavarsi i denti, preparare i biscotti, andare a scuola, ...).
A cosa serve questo esercizio!?
"Mettere in ordine" è un esercizio di logica che sviluppa l'attenzione, che affina le capacità di osservazione e di linguaggio, nonchè di concentrazione.

E poi serve:

• a capire il concetto di prima-dopo
• a capire il significato delle parole
• a capire causa-effetto

Sembra banale, ma non lo è. Soprattutto le prime volte, quando si deve entrare nel "meccanismo". Poi, una volta capito, si va avanti col vento in poppa... e pare che anche in questo Miriam si stia sbloccando.

In rete ho trovato anche delle carte molto più articolate che, invece, ripropongono le favole.
Secondo me, anche queste sono utili, perchè così si può anche fare in modo che la storia la racconti direttamente Miriam, in modo da stimolarle il discorso e da arricchirle il vocabolario.

Ecco un paio di link utili, da cui scaricare le carte da usare:
- La storia di Pinocchio
- La storia di Cenerentola
- Una rudimentale storia dei 3 porcellini

Si può iniziare cominciando con esercizi che richiedono un numero minimo di carte da mettere in ordine cronologico (3 o 4), per poi andare man mano aumentando il numero delle carte e facendo diventare l'esercizio sempre più sfidante!

Come si calcola il giorno di Pasqua

Natale è passato, ora siamo già tutti proiettati alla prossima ricorrenza, ovvero, soprattutto per noi con bambini, ai prossimi festeggiamenti: il Carnevale.
Per sapere quando inizia il carnevale, bisogna sapere quando è Pasqua, perchè a partire dalla domenica di Pasqua poi si devono contare a ritroso i 40 giorni di Quaresima, per arrivare al mercoledì delle ceneri, che è il giorno subito dopo l'ultimo giorno di carnevale, ovvero il martedì grasso.

La domenica di Pasqua è la prima domenica di primavera successiva alla prima luna piena.
Sembra facile, no!? Ok, ma come si riesce a calcolare il giorno di Pasqua?!
Ecco che ci viene in soccorso Gauss, che ha inventato un "semplice" algoritmo per sapere immediatamente qual è la domenica di Pasqua a partire dall'anno.

Ok. Per poter svolgere questo algoritmo di Gauss, è necessaria conoscere una operazione: l'operazione MODULO (mod).
Ovvero, dati due numeri interi, il modulo tra essi non è altro che il resto della loro divisione, facciamo qualche esempio:
7 mod 2 = 1 , perchè la divisione 7:2 dà come resto 1
18 mod 3 = 0 ,  perchè la divisione 18: 3 ha resto 0
15 mod 30 = 15 , perchè la divisione 15:30 ha resto 15.

Bene, una volta tenuto a mente questo banale calcolo, si può procedere a conoscere la data della prossima Pasqua.
Consideriamo Y = anno di cui si vuole calcolare la Pasqua. A partire da questo, calcoliamo i seguenti coefficienti:
a = Y mod 19
b = Y mod 4
c = Y mod 7
e poi ancora:

d = (19a + 24) mod 30

e = (2b + 4c + 6d + 5) mod 7

se d + e <10, allora la Pasqua cadrà il giorno (d + e + 22) marzo, altrimenti sarà il giorno (d + e - 9) aprile.

In sostanza, per l'anno in corso:
Y = 2014
a = 2014 mod 19 = 0
b = 2014 mod 4 = 2
c = 2014 mod 7 = 5
e quindi:
d = 24 mod 30 = 24
e = (4 + 20 + 144 + 5) mod 7 = 173 mod 7 = 5
da cui: d + e = 29 che sicuramente è più grande di 10.
Quindi la domenica di Pasqua del 2014 sarà il giorno: 29 - 9 aprile, ovvero il 20 APRILE!

Capito, no?!
Per spiegare come è nato questo algoritmo, la cosa è abbastanza contorta... ve la risparmio ;)

Merry Christmas in Matematica

Ho trovato in rete questo divertentissimo passaggio matematico per augurare Buon Natale e non potevo lasciarmelo scappare...
Eccolo qua

Avete bisogno di qualche chiarimento?
Ok, ci proviamo...
Al primissimo passaggio abbiamo una funzione che al numeratore ha un logaritmo naturale (ln).

Al secondo passaggio si moltiplica ambo i membri dell'equazione per r^2.
Al terzo passaggio si eleva ambo i membri il tutto in base e, la qual cosa fa scomparire il logaritmo naturale al secondo membro.
Poi con una serie di spostamenti a sinistra e a destra dell'uguaglianza, a seguito di un paio di raggruppamenti... ecco che compare la scritta

MERRY CHRISTMAS!

Rinnovo così gli auguri a tutti!!!! :D

Il coccodrillo come fa?

Ma che bel lavoretto per imparare le forme geometriche vi ho trovato oggi!?
Il COCCODRILLO!

Mettete un triangolo (preferibilmente isoscele - con due lati uguali-).
Mettete un'ellissi con uno dei due diametri pari alla base del triangolo isoscele.
Più o meno così!

E il gioco è fatto.
Sì dai, non ci vuole poi molto... Disegnate quel che vi ho detto. Se proprio siete dei negati, stampate questo foglio qui.
A questo punto ritagliate le due forme lungo i bordi.
Il triangolo piegatelo a fisarmonica e poi srotolatelo. Questo è il corpo del coccodrillo.
Piegate in due l'ellissi lungo l'asse evidenziato.
Trattate l'ellissi come se fosse la bocca del coccodrillo.
Incollate dentro i dentoni che avrete fatto disegnare a bimbi e sopra, gli occhi.
Incollate con dello scotch l'ellissi piegato in due sulla coda a fisarmonica, lungo la base del triangolo...

Ed ecco a voi, il bellissimo coccodrillo!

Mamma, che paura!

Sì, ma, il coccodrillo, come fa?!?!?!?

Tutto a posto o sottosopra?

Diverso tempo fa, lessi questo post di Daniela che consigliava tutta una serie di libri matematici per bambini piccoli.
L'ha fatto così bene, che mi ha convinta a prenderne qualcuno, o meglio: mi ha convinta a fare richiesta ai nonni, dispensatori ufficiali di libri e letture, nonchè di giocattoli e cose varie.
Ma comunque sia, questo libricino: "Tutto a posto o sottosopra?" è una simpatica storia di una principessa sveglia e intelligente, che deve andare dalla Strega Sottosopra per salvare il principe. Ma per farlo, deve trovare la strada, e a volte non è così facile, perchè bisogna risolvere indovinelli e sequenze.

Si susseguono successioni logiche da riempire, pezzi di strada da ricomporre e ad ogni pagina il bambino è sollecitato a scoprire il criterio per risolvere il problema.

Un libro vivace, divertente e stimolante.
E poi, quanti libri conoscete in cui è la principessa a salvare un principe imbranatello!?
Come se non bastasse, poi, c'è un lieto fine: la strega, tutto sommato, non è poi tanto brutta e antipatica, si trattava solo di rimetterla un po' in ordine e di agghindarla un po', tutto qui!

Lo consiglio vivamente a tutti i bimbi intorno ai 5 anni. Miriam si è divertita un sacco a risolvere gli enigmi!

Altro libro per piccoli per avvicinarli ai numeri è: Il trionfo dello Zero

Elementi di Fisica in Peppa Pig II

Come ogni esame di Fisica, abbiamo fatto la prima parte, ora tocca studiare la seconda, giusto?
Bene.
Cominciamo.

In uno dei nuovi episodi della famosa serie, la famiglia Pig parte per andare in montagna, ma papà Pig perde le chiavi che gli cadono in un tombino.
Ecco, tragedia delle tragedie!!!!

Per fortuna che arriva celermente il signor Toro con la sua scavatrice a risolvere il guaio.
Ma per capire a che profondità stanno le chiavi, come si fa?
Allora i nostri personaggi, lanciano un sassetto dentro il tombino e contano i secondi che intercorrono tra il lancio e il rumore che fa il sasso quando tocca il fondo del tombino stesso.
Da qui, conoscendo la formula di moto uniformemente accelerato, dovuta alla caduta libera di un corpo, si calcola lo spazio percorso.
Infatti:

s = 1/2 *g * t^2

dove:
s = spazio percorso
g = forza di gravità (pari a 9.8 m/s^2)
t = secondi

Dai, è semplice, no?!

PS: per l'esattezza sarebbe da aggiungere anche lo spazio da cui si lancia la monetina... ma vabbè...)

Attività di ispirazione montessoriana e non lo sapevo...

Ammetto la mia completa ignoranza in materia, quindi prendete per rudimentali le informazioni che trovate in questo post, sono il frutto del mio girovagare nella rete.
Mi piace poter condividere quanto ho appreso navigando tra i vari siti più competenti e leggendo nei vari gruppi che frequento.
Comunque sia, la matematica montessori si inizia ad apprendere da piccoli, piccolissimi.
Più che altro, i bimbi vengono a conoscenza, attraverso l'esperienza, di nozioni di logica, di concetti quale: più grande - più piccolo, o anche il fatto stesso di "mettere a posto" secondo un criterio.
Insomma, esercizi banalissimi come costruire una torre partendo dal pezzo più grande al più piccolo, è un esercizio montessori che affina le capacità di capire le dimensioni di un oggetto e lo sviluppare tridimensionalmente un lavoro.

Poi ci sono gli anelli, anche questi di dimensioni differenti, con i diversi concetti di "maggiore" e "minore". Qui, poi, c'è anche la capacità di affinare la tecnica della motricità: saper infilare gli anelli su un perno. Anche questa è un'attività montessoriana e non lo sapevo...

E ancora, ci sono i megapuzzle in legno con il pirulicchio con cui afferrarli più facilmente, per distinguere le diverse forme e i contesti in cui inserire un pezzo piuttosto che un altro.

Ecco.
Non lo sapevo.

Ho inoltre scoperto che: Maria Montessori è stata rivoluzionaria nei suoi metodi educativi perchè lei metteva non soltanto al centro il bambino, con le sue necessità, ma ha cercato di costruirgli attorno un mondo a sua misura, proprio per insegnargli a fare da solo, in completa autonomia.
Se ci pensiamo, questo è grandioso.
E poi, si impara non soltanto con la mente, ma con tutto il corpo: quindi via ad esperienze sensoriali, soprattutto al tatto nei primi mesi di vita, facendo conoscere diverse consistenze, materiali, temperature.
E poi giocare... giocare... giocare...
Perchè giocare è una cosa seria, serissima!
Nel gioco non ci sono preconcetti, non ci sono cose "giuste" o cose "sbagliate", non ci sono freni che potrebbero condizionare a priori, non ci sono critiche e giudizi. Per questo il bimbo non si sente sotto osservazione ed è libero di esprimersi. Questo fa sì che possa imparare più facilmente, perchè non c'è timore di sbagliare e quindi di non sapere.
La paura di prendere un brutto voto, di essere sgridati perchè non all'altezza delle aspettative, molte volte blocca l'esperienza del bambino, ecco... questo nel gioco non accade!

Il gioco LIBERO è il migliore per imparare, per crescere: si comincia a giocare e non si sa dove si andrà a finire, le regole si creano man mano, la fantasia galoppa... ma per fare questo, bisogna scegliere il luogo adatto ed il giocattolo adatto... a mio avviso il miglior giocattolo è il NIENTE!
Col niente il bimbo è "costretto" ad inventarselo, a costruirselo.
O anche, con le costruzioni, ad esempio... è bene seguire le istruzioni per costruire la fattoria o anche una casa... ma perchè non costruire anche dell'ALTRO!? In fondo i mattoncini sono lì che aspettano soltanto la fantasia del bimbo. E ne escono fuori delle belle, ogni volta. Non importa il risultato, non si deve diventare ingegneri... importa l'esperienza che ha fatto il bambino e ogni volta è una esperienza diversa dalla precedente.

Da quel che ho capito, molti videogiochi, quasi tutti, dettano troppe regole, il percorso è già deciso e digerito, il bambino ha ben pochi gradi di libertà. Deve camminare su quei binari e basta.
Questo non è imparare. Almeno, non in termini montessoriani.

Il gioco migliore, sempre secondo la Montessori, è il gioco del "far finta", il gioco dei ruoli, per simulare la vita reale, quella che circonda il bambino: far finta di fare la spesa, di essere dal dottore, di fare a mamma e a figlia.
Sono tutti giochi, questi, che conducono il bambino a trovare delle soluzioni aperte, di trovare alternative e di pensare anche agli altri partecipanti al gioco.
Quando una domanda se la pone il bimbo stesso, la risposta verrà assimilata meglio e più in fretta. E' la curiosità il motore di tutto e la chiave di volta per l'apprendimento è appunto instillare la giusta dose di curiosità.
A noi il compito di accompagnarli, di assecondarli, di rispondere... e non è facile. Soprattutto per noi.
Dobbiamo metterci al livello del bambino e aiutarlo a fare da solo!

Precisazione DOVEROSA spiegatami direttamente da un'esperta delle attività montessori, Claudia Porta:

Solo un dettaglio, che è però di grande importanza. Negli ambienti Montessori non si "gioca a far finta di" ma si fa. Davvero. Si cucina, si lavano i piatti, si annaffiano le piante, si telefona al museo per organizzare una visita. Le responsabilità ovviamente cambiano con il passare degli anni, ma è tutta "vita vera". Non ci sono stoviglie giocattolo ma stoviglie vere a misura di bambino. E questo vale per tutti gli altri oggetti proposti.

Grazie mille, Claudia... ti seguirò sulla tua pagina dedicata.

Elementi di Fisica in Peppa Pig

No, non sono impazzita. E' che stavo pensando ad un nuovo argomento per il mio trascuratissimo appuntamento "Maths & Tricks", sul divano stavano appollaiate le bimbe a godersi l'ennesimo episodio di Peppa Pig e poi ho avuto la folgorazione.
Ci sono elementi base di fisica in qualche episodio di Peppa Pig.
Non ci credete?

In un episodio, credo sia della vecchia serie, Peppa e George hanno paura del temporale. Mamma e Papà Pig poi spiegano come si fa a capire se il temporale sta finendo, spiegando ai piccoli che bisogna contare i secondi che passano da quando vedono il lampo a quando sentono il rumore del tuono, se i secondi di differenza tra i due eventi vanno man mano aumentando, allora significa che il temporale si sta allontanando, al contrario, si sta avvicinando.

Semplice.
Perchè?
Questo è l'esempio lampante (è il caso di dire) che dimostra che la luce viaggia più veloce del suono: si vede prima il lampo e poi si avverte il rumore del suono.
Facendo quindi dei calcoli molto approssimativi e giusto per rendere un attimo l'idea, si può risalire facilmente alla distanza alla quale avviene il fenomeno del fulmine se si fa questa considerazione: se cade un fulmine a 1Km di distanza da me, il suo bagliore lo vedrei immediatamente, mentre il suono del tuono mi arriverebbe soltanto dopo poco meno di 3 secondi (prendete questo dato per buono, per l'esattezza sarebbero 2.9 secondi, ma fa niente).

Quindi, contando i secondi che intercorrono tra il lampo e il tuono (secondicontati), possiamo calcolare a che distanza (d) è avvenuto il fenomeno, facendo la proporzione:

1km : 3sec = d : secondicontati

da cui:

d = secondicontati/3 

e il risultato ci fornisce la distanza in chilometri.
Semplice no?

E poi mi lamento e voglio fare di Peppa Pig soltanto delle succulente salsicce!

Operazioni con le frazioni: metodo FARFALLA

E lo so, la scuola è bella che finita e i bambini ora sono felici e spensierati, come è giusto che sia, finalmente!
Anzi, ne approfitto proprio per augurare a loro una lunga estate piena di divertimenti, relax e giochi!
Nel frattempo, vi parlo di questa brutta cosa che sono le frazioni...

Eh, le frazioni sono difficili da digerire, me lo ricordo molto bene anche io,quando ho dovuto scervellarmi prima a capire cosa diavolo fossero le frazioni, e poi a giocarci con le operazioni.
Per chi proprio fosse a digiuno, ricapitoliamo in cosa consiste una frazione: è il rapporto tra due numeri interi, chiamati numeratore e denominatore.

Ho scovato questo metodo della farfalla, per risolvere addizioni e sottrazioni tra frazioni, senza fare uso del minimo comune multiplo (ovvero il più piccolo multiplo dei due denominatori) che, in genere, dovrebbe essere messo al denominatore della frazione risultato.

Osserviamo come si deve procedere:

Si scrive l'operazione da svolgere.

Si disegnano le ali della farfalla in questo modo... con tanto di antennine su ciascuna ala:

Su ogni antennina si scrivono i prodotti tra i due numeri contenuti in ciascuna ala: 3x5 e 2x4

Ora, questa farfalla ha bisogno del corpicino... e quindi provvediamo immediatamente, moltiplicando tra loro i due denominatori

Ed infine, fare l'operazione richiesta (in questo caso un'addizione) tra i numeri sulle antenne

Eventualmente semplificare il risultato, dividendo per interi comuni al numeratore e al denominatore, ma in questo caso non ce n'è bisogno.

Lo stesso procedimento si può adottare anche per le sottrazioni.
Che ve ne pare?
Può essere utile?

Il Trionfo dello Zero

Tempo fa, mi sono imbattuta in questo post di Daniela che mi ha così tanto incuriosito, che ho mandato in avanscoperta la nonna Lilla, alla ricerca di questi libricini.

Mi aveva incuriosito il fatto che si trattasse di numeri.
Mi aveva incuriosito il fatto che fosse di Rodari, che adoro.

Così, l'altro giorno, la nonna è venuta a casa con il bottino... il primo libro arrivato a casa è stato questo qua:

Ecco, così, una volta che abbiamo avuto tra le mani questo libricino, Miriam l'ha voluto subito leggere.
E' una filastrocca che parla della solitudine del numero 0, che proprio non contava niente di niente...
ma che poi, accompagnato opportunamente con un altro numero, lo fa crescere di importanza, tanto che tutti gli altri si inchinano al suo passaggio... così, da che era tanto schifato da tutti, poi diventa una celebrità e diventa amico di tutti quanti...
Carino, no?

Pregrafismo: unisci i puntini

Miriam (4 anni e mezzo, ormai... l'ho realizzato che siamo al giro di boa verso i 5 anni solo da pochi giorni!) ha la passione per i numeri (gioia e gaudio estremo per me!).
Così, un po' per gioco e un po' per (mia) curiosità, qualche giorno fà le ho proposto il gioco dell'unire i puntini per vedere che immagine esce fuori.

http://www.oncoloring.com/dot-to-dot-very-easy-coloring-pages_2
.html

Non sapeva di cosa si trattasse, così gliel'ho spiegato.
I primi puntini li abbiamo uniti insieme, poi lei ha capito il meccanismo ed ha proseguito da sola e la cosa l'ha appassionata non poco!
E' entusiasta di questo gioco, un po' per la novità, un po' perchè vede realizzarsi un'immagine e può dire di averla fatta lei e poi perchè adora alla fine colorarla.
Una volta che termina il disegno me lo mostra soddisfatta.

Poi, facendo un minimo di ricerche in rete, ho scoperto che questo è un valido esercizio di pregrafismo, ossia di preparazione alla scrittura, in questo caso, dei numeri.

Pensandoci bene, questo esercizio è utile anche a capire la successione dei numeri, quello che viene prima e quello che viene dopo, a saperli riconoscere.
Per il momento, ci siamo focalizzando sulla successione da 1 a 10.
Poi proseguiremo nell'unire successioni più lunghe di numeri, oltre la prima decina.
Ho trovato questa raccolta valida di disegni semplici per cominciare e ve la propongo.

Perchè la matematica non è soltanto numeri... è divertimento!

Buon compleanno Eulero!

Oggi ricorre il compleanno di questo padre della matematica, un genio indiscutibile: Eulero, nato appunto il 15 aprile del 1707.
Non posso esimermi dal ricordarlo... è uno dei miei miti!
Anche Google lo festeggia, dedicandogli l'home page con un'immagine in cui si tenta di dare evidenza delle maggiori scoperte fatte dalla mente infinita di questo matematico.

Ne riassumo la vita e alcune sue pensate, come spunto per farlo conoscere, perchè tante volte non si afferra bene l'immensità di certe menti, perchè in realtà non le si conosce affatto.

Consideriamo soltanto che già all'età di 18 anni era plurilaureato (filosofia, teologia, matematica).
I suoi interessi andavano oltre ogni limite.
Le sue scoperte sopravvivono valide ancor oggi, più che mai e sono come sangue nelle vene per un matematico, come ossigeno nei suoi polmoni...

<< il grande merito di Eulero è stato quello di aver saputo sistemare e collegare campi ai suoi tempi separati della matematica, utilizzando in modo geniale le risorse della geometria, dell'algebra e dell'analisi, per arrivare a risultati straordinari.>>
...
<<Fra i tanti meriti di Eulero, ricordiamo almeno l'introduzione di simboli usati oggi da tutti gli studenti quali  π , i, per e, base dei logaritmi naturali f(x) per la funzione di x, il simbolo Σ per indicare una sommatoria. >>

... 

<<Sua è anche la formula che si trova su tutti i libri di geometria, valida per i poliedri semplici, cioè privi di buchi, nota come formula di Eulero per i poliedri:  

V - E + F = 2 

dove V, E ed F indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce del poliedro.

E’ nota come formula di Eulero anche la seguente formula che stabilisce una stretta relazione tra  funzioni trigonometriche e funzione esponenziale:

 

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l’unità immaginaria,sin e cos le funzioni trigonometriche.
Un suo caso particolare, con x = π,  è l’identità di Eulero, una delle più belle formule della matematica.

>>

Il suo contributo spazia dal campo della geometria, a quello dell'algebra, fino al calcolo infinitesimale, allo studio dei numeri primi "il mistero impenetrabile", come usava definirli, e poi anche la fisica, la musica...
Sapeva a memoria poesie, tutta l'Eneide, senza considerare la velocità di calcolo ...
La sua mente aveva la potenza di un processore della NASA!
Ahimè, perse la vista da un occhio quando solo aveva 30 anni, molto probabilmente per i troppi sforzi a cui sottoponeva il suo fisico sin dalla tenera età, e così si guadagnò anche l'appellativo di "Ciclope matematico" alla corte di Federico il Grande.
Una vita ricca, sia in ambito affettivo (2 mogli, una marea di figli e poi di nipoti, che lui ha iniziato alla matematica in maniera allegra ed interessante) che in ambito professionale: fu uno dei pochi geni riconosciuti tali sin da quando erano in vita.

Mi chiedo, ma oggi, esiste un Eulero dei giorni nostri?


Per chi fosse interessato ad approfondire, consiglio questo link, da cui, tra l'altro, ho preso le parti virgolettate.

I compiti di matematica per le vacanze

Stavolta non svelo nessun trucchetto di matematica, voglio semplicemente dire quello che penso sui compiti per le vacanze che vengono "elargiti" agli studenti durante il periodo delle vacanze, visto che già siamo dentro a quelle pasquali.

Ultimamente sento spesso mamme che si lamentano della mole infinita di compiti che vengono assegnati ai ragazzi per il periodo delle vacanze, compiti che puntualmente non si riusciranno  mai a svolgere tutti con la dovuta attenzione e profondità.

Ecco, io sono decisamente contraria a questa mole di compiti, anche perchè, come ho appena finito di dire, non verranno mai svolti e rimarranno lì a prendere polvere o ad aumentare l'ansia degli studenti più apprensivi.
Le vacanze, per definizione, devono essere VACANZE: è un momento in cui i ragazzi e i bambini devono pensare a fare altro: giocare, correre, viversi la famiglia, la casa, gli amici, i passatempi, lo sport... e se si devono passare intere mattine a fare compiti ripetitivi, e a stressarsi... bèh, allora le vacanze sono un vero fallimento.
Questi giorni servono a ricaricare le pile, servono per prendere ossigeno e assorbire affetto, non certo per passarli curvi sui libri.

Con questo non voglio dire che NON bisogna fare assolutamente i compiti, al contrario: sto dicendo che VANNO fatti, ma nella GIUSTA misura.
Ecco, quale sia la giusta misura è presto detto: i compiti servono per mantenere l'esercizio (parlo soprattutto della matematica), per perfezionare quanto è stato già appreso durante il periodo delle lezioni, servono a far "decantare" concetti che hanno bisogno di esser digeriti, non per impararne dei nuovi e neanche per fare e rifare sempre le stesse cose.
I compiti NON servono a riempire le lacune della programmazione scolastica, non servono a sostituire delle lezioni, così facendo si fa un buco nell'acqua e si  è proprio sbagliato approccio.
E questo, in genere, è un pensiero che rivolgo agli insegnanti che anzichè considerare uno o al massimo due esercizi di matematica (problemi/espressioni/equazioni/etc...) per giorno di vacanza - eccezion fatta per i giorni festivi tipo Pasqua e Pasquetta che dovrebbero essere completamente esenti da compiti - ricoprono quelle pagine dei diari scolastici con un'infinità infinita di problemi e di esercizi.
E chi se ne importa se poi non vengono affatto svolti dagli studenti stessi, no?! Che tanto poi si sa che sono i genitori che si mettono lì di buona lena ad aiutare i poveri studenti oberati e stressati, quindi mi domando: a che servono fatti così?
Tanto vale assegnarne la metà, ma almeno così si è certi che un minimo di esercizio viene svolto dai diretti interessati.
E non importa se poi al rientro a scuola si devono riprendere le fila del discorso, tanto lo si dovrebbe fare comunque, no!?
Ecco... questo è il mio pensiero per gli insegnanti.

Noi genitori cosa possiamo fare?
Non ci mettiamo a STRESSARE anche noi!
Regoliamo la giornata della vacanza con una routine molto soft, non troppo rigida...
Facciamo in modo che i bambini dedichino un paio di ore al giorno (magari nelle prime ore della mattina dopo il risveglio) ai compiti e lasciamoli liberi di fare altro per il resto della giornata.
Prendiamoci cura di verificare che in quel paio di ore si studi veramente e che non si stia perdendo tempo.
E fin dove arrivano a svolgere da soli, bene, il resto, se l'insegnante non lo capisce, aiutiamoli noi stessi: se si tratta di operazioni ripetitive, di espressioni che vertono sempre sullo stesso argomento, se ci sono argomenti ricorrenti, cerchiamo di capire se il bambino è comunque proprietario della materia, dell'argomento, e una volta appurato questo... beh... aiutiamolo in tutto e per tutto, che tanto se un'addizione tra frazioni o se un'espressione algebrica la si sa svolgere già bene, è inutile fare 3 esercizi o farne 300, così ci si esaspera e basta, non c'è alcun valore aggiunto!

Poi, vabbè, ci sono ragazzi e studenti come me, che i compiti di matematica sono i primi che svolgono, proprio perchè considerati un divertimento... ma questi sono dei casi eccezionali!
Per il resto: BUONE VACANZE A TUTTI!

Batman Curve

Da un gruppo facebook che seguo con iteresse, non a caso si chiama "Roba da matematici", ho preso questa immagine...

Dice: e che è!?
Diciamo che chi non ha mai fatto uno studio di funzione, non riuscirebbe bene a comprendere...
Provo a dirla in parole povere.
Li riconoscete gli assi cartesiani, no!?
Ecco, il disegno di Batman si può "facilmente" ricondurre ad un'unione di grafici di altre funzioni...
Si possono vedere delle porzioni di rette (quelle in verde, in blu e in rosa), delle porzioni di ellissi (quelle in rosso) e delle altre curve...

Si può notare come tutto sia simmetrico rispetto l'asse verticale delle ordinate, il che fa sì che basta che si faccia lo studio della funzione nella porzione delle ascisse (x) positive, per poter poi avere "gratis" lo studio rispetto la parte speculare delle ascisse negative...

Diciamo che uno studente di liceo scientifico all'ultimo anno, dovrebbe essere in grado di interpretare questa immagine... sottoponetegliela e vediamo che dice!!!
Io l'ho trovata divertente!