L'importanza dell'insiemistica

In molti ci siamo chiesti, soprattutto quando stavamo sui banchi di scuola, a cosa mai servisse tutta quella barbosissima teoria degli insiemi, diciamocelo!
Ecco, oggi voglio accompagnarvi nella comprensione di questo capitolo fondamentale della matematica, capitolo che viene ripreso ogniqualvolta si ricomincia un ciclo di studi nuovo (prima alla scuola dell'infanzia, poi alle elementari e via discorrendo... fino all'università!).

Il concetto di insieme come collezione di elementi in base ad una qualche relazione definita, è semplice da comprendere, in questi termini, per noi adulti ed è alquanto banale. Ma questo livello di astrazione non è affatto semplice da afferrare quando si è dei bambini e allora si cala la definizione in esempi concreti e pratici.

La storia della teoria degli insiemi ha radici ben profonde, anche se non veniva certo chiamata in questi termini ai tempi di Euclide, ma già il concetto di insieme era ben presente.
E' stata poi sviscerata e formalizzata da Cantor, che morì depresso e disperato perchè non compreso dai colleghi del tempo... non poteva certo immaginare che poi sarebbe stato il padre fondatore della matematica moderna!
Infatti, intorno agli anni '70, dopo un mega congresso che vide chiuse nella stessa stanza tutte le più illustri menti matematiche dell'epoca e i pedagoghi più affermati, si scoprì la fondamentale necessità di rivedere l'insegnamento della matematica a tutti i livelli e di basarla essenzialmente sull'insiemistica.
Eh sì, perchè anche la matematica è soggetta a mode e correnti di pensiero, mica cotica!
Con questa innovazione, tutto veniva portato a livelli di astrazione tali, da rendere anche il concetto più banale (ad esempio la definizione di angolo) di un'inaccessibilità incredibile.
Perchè?
Ecco, giusto per darvi un accenno, in chiave moderna, un angolo dovrebbe definirsi come:

Qualunque siano le coppie (D₁, D₂) e  (D₁’, D₂’) di semirette vettoriali di E la relazione:

“  esiste una rotazione vettoriale f di E tale che f(D₁)= D₁’ , f(D₂)= D₂’  ”

è una relazione di equivalenza in DxD, dove D rappresenta l’insieme delle semirette vettoriali di E. Una classe di equivalenza per questa relazione viene chiamata angolo di due semirette vettoriali di E.

No, non è affatto comprensibile...
Per questo, tale approccio, fallì miseramente e il tiro dell'insegnamento della matematica venne aggiustato negli anni seguenti.
Ma non venne abolito affatto il capitolo sull'insiemistica, perchè in ogni caso è stato utile a capire diversi aspetti.

L'insiemistica costituisce un supporto alla didattica importante, soprattutto nelle scuole primarie. I concetti di unione di insiemi, di sottoinsiemi, di intersezione e di insieme vuoto sono comprensibilissimi dai bambini, proprio perchè vengono calati nella realtà collezionando diverse tipologie di oggetti e facendo notare loro l'equivalenza o meno tra essi.

L'insiemistica aiuta alla formazione logica del bambino: ciò che è uguale, diverso, ciò che accomuna, etc.

L'insiemistica fornisce la terminologia con cui trattare nozioni matematiche successive in maniera più esatta e precisa e immediata, una volta capite, il resto risulta più facile.

L'insiemistica introduce alla capacità di astrazione dei concetti: in uno stesso insieme possono ricadere diverse tipologie di cose, che apparentemente potrebbero non avere niente in comune, ma basta definire la relazione di equivalenza opportuna, e allora diventano uguali o, per lo meno, trattabili in ugual maniera.
Ad esempio: se si pensa all'insieme costituito dalle mele, in questo insieme non potrà mai essere considerata una pera, ma se la relazione viene cambiata in: "consideriamo l'insieme della frutta", allora mele e pere sono equivalenti, non so se mi spiego...
E qui è il concetto chiave dell'insiemistica: lo spostare l'attenzione dal numero alla struttura, quindi ecco perchè la matematica non è semplicemente numeri, ma relazioni tra oggetti, rapporti, la matematica è fatta da fili che collegano il tutto, è la struttura, appunto! Ed è questo ciò che non arriva mai come messaggio forte e chiaro a tutti!

immagine presa da http://macosa.dima.unige.it/fp/MC/ins.htm

Il bambino, prima ancora di saper contare, sa riconoscere se un oggetto appartiene o meno ad un insieme e, tramite questa logica, riesce benissimo a fare operazioni, che, apparentemente, non gli competerebbero, ad esempio riuscirebbe a capire se tra un oggetto di un insieme e un altro appartenente ad un secondo insieme c'è una qualche relazione, o anche riuscirebbe a dire se un insieme di oggetti è più o meno numeroso di un altro...
C'è un esperimento di Russel molto ficcante: un cameriere vorrebbe sapere se in un cassetto di posate c'è un ugual numero di coltelli e forchette senza doverle necessariamente contare.
E allora lui che fà?
Non conta separatamente i coltelli e le forchette, ma li prende a coppia, un coltello in una mano e una forchetta nell'altra, e così scopre se sono di ugual quantità oppure no.
Questa è la logica che facilmente possono anche comprendere i nostri bambini, non è necessario saper contare, non è necessario il concetto di numero.

In questo la teoria degli insiemi è un supporto didattico, facilmente rappresentabile e di immediata comprensione.