Il problema dello spago

Torniamo alla mia cara e vecchia matematica.
Oggi voglio parlare del "problema dello spago", un quesito molto interessante e carino che, analiticamente, può essere proposto agli alunni liceali, perchè si parla di analisi di grafici, di parabole eccetera, ma intuitivamente, può tranquillamente essere capito e assimilato dai ragazzi delle medie, basta che si abbia la nozione di perimetro e area di un rettangolo.

Prima di entrare nel vivo del quesito, vorrei sottolineare l'efficacia di far diventare la matematica "concretezza": tramite l'utilizzo di un banalissimo spago, si possono capire concetti che altrimenti resterebbero astratti e campati per aria, in questo modo, invece, si interiorizzano delle nozioni e si capiscono cose che difficilmente si dimenticheranno, perchè i ragazzi le toccano con le proprie mani... è questa la differenza! E non si sbaglieranno più.

Allora, cominciamo col dire che questo problema dello spago è stato portato avanti e studiato approfonditamente da Emma Castelnuovo, figlia del grande Guido Castelnuovo ed insegnante di matematica, che ha rivoluzionato il modo di insegnarla: infatti ha basato tutto il suo insegnamento sul mettere al centro l'allievo, stimolarlo nel modo corretto ad arrivare lui stesso alle conclusioni, senza fargliele cadere dall'alto, portandolo all'osservazione e all'esperienza. E questo è uno dei suoi escamotage per far comprendere concetti altrimenti lontani.

Basta avere uno spago, di una lunghezza qualunque (che rimane, ovviamente costante). Serve legare le due estremità tra loro per poterci giocare con quattro dita, provando a variare le due dimensioni del rettangolo che ne viene fuori.

Il quesito è il seguente: i rettangoli (isoperimetrici) che man mano vengono creati in questo modo, pur mantenendo lo stesso perimetro (che è sempre pari alla lunghezza dello spago), è possibile che abbiano aree diverse? Ed in che modo?
Ovvero, esiste un rettangolo con area massima ed uno con area minima? E quali sono?

Provate a chiederlo ai ragazzi, ne sentirete delle belle.

Questo corrisponde al quesito formulato in maniera più "canonica": Data la serie di rettangoli con ugual perimetro, determinare il rettangolo di area massima e quello di area minima.
Insomma, questo problema si incastra tra quelli di studio dei massimi e minimi.

Partiamo dall'approccio analitico (adatto agli studenti liceali).
Immaginiamo che il perimetro costante dei rettangoli sia pari a 40 e che le due dimensioni variabili degli stessi siano x ed y.
Si avrà che:

2 * (x+y) = 40

ovvero (dividendo tutto per 2):

x + y = 20
o anche:
y = 20 - x (*)

Considerando l'area dei diversi rettangoli pari ad S, si ha che:

S = x * y

Operando tra queste due uguaglianze, ovvero, sostituendo alla y dell'ultima equazione, la sua espressione precedentemente trovata (*), si arriva all'equazione della parabola:

foto credits: http://www.treccani.it/

Conclusioni (intuitive, che possono essere comprese da ragazzi delle medie):

Ora, analizzando concretamente il risultato, si può vedere che l'area massima si ha quando il rettangolo diventa un quadrato di lato pari a 10 (da cui, si può anche dedurre che: il quadrato è un particolare rettangolo!).

Mentre l'area minima si ha quando lo spago è tutto disteso piegato in due: in questo modo, infatti, diventa un segmento lungo 20 e si sa, che i segmenti non hanno superficie!

PS: il problema può essere risolto analiticamente in diverse maniere, questa non è l'unica!